数学記号の定義

数学記号の定義をまとめます。記号の意味に加え、英語の読み方、LaTeXのコマンドも記載します。随時更新して追記していきます。

集合論(set theory)

$\in, \ni, \notin, \notni$ (集合と元の帰属関係, set membership)

集合$A$と要素(元)$x$の帰属関係を意味する。$\in$は含む(in, belongs to)、$\notin$は含まない(not in)と読む¹²。

• $x \in A$:
  • $x$は$A$に属する、$x$は$A$に含まれる
  • $x$ is an element of the set $A$, $x$ belongs to the set $A$, $x$ is in the set $A$
• $x \ni A$:
  • $A$は$x$を含む、$x$は$A$の要素である
  • The set $A$ contains $x$ as an element
• $x \notin A$:
  • $x$は$A$に含まれない。
  • $\neg(x \in A)$とも書ける(see “$\neg$論理否定”)

LaTeX コマンドは以下。

• $\in$, \in
• $\ni$ , \ni
• $\notin$, \notin
• $\notni$ , \notni

機械学習の文脈では、以下のような記述で用いられることがある。

訓練データセット$C$のあるサンプル$x$($C \in x$)が値として2値を取る($x \in \lbrace 0, 1 \rbrace$)場合、損失関数としてロジスティック関数を用いることが多い。

$\subset, \supset, \subseteq, \supseteq, \subsetneq, \supsetneq, \not\subset, \not\supset$ (集合同士の包含関係, set inclusion)

集合$A$と集合$B$の包含関係を意味する。ただし、記号"$\subset$“に関して、意味が一意に定義されておらず、文脈により以下の2つの定義のどちらかが使用される¹²³。

• 部分集合(subset):
  • $A \subset B$: $A$は$B$に含まれ、かつ$A$と$B$が等しい($A$の全要素が$B$に含まれることを意味する)
  • $\forall A, x \in A \Rightarrow x \in B$と書ける(see “$\forall$全称限量”, “$\Rightarrow$論理包含”)
• 真部分集合(proper subset):
  • $A \subset B$: $A$と$B$は異なっており、かつ$A$の全ての元が$B$に含まれる
  • $A \ne B \wedge \forall A, x \in A \Rightarrow x \in B$と書ける(see “$\wedge$論理和”)

LaTeXコマンドは以下。

• $\subset$, \subset
• $\supset$ , \supset
• $\subseteq$, \subseteq
• $\supseteq$, \supseteq
• $\subsetneq$, \subsetneq
• $\supsetneq$, \supsetneq
• $\not\subset$, \not\subset
• $\not\supset$, \not\supset

基本論理(basic logic)

$\neg$ (論理否定, logical negation)

$\neg$, \neg

$\forall$ (全称限量, universal quantification)

$\Rightarrow$ (論理包含, material conditional)

$\wedge$ (論理和, logical and)

Equality, equivalence and similarity

$\approx$ (ほぼ等しい)

e.g. $\pi \approx 3.14159$

LaTeX command:

• $\approx$, \approx

$\sim$ (チルダ)

1. $\approx$(ほぼ等しい)の代わり。
2. 2つの数の桁数が同じ。
3. $X \sim N(\mu, \sigma^2$, 平均$\mu$分散$\sigma^2$の正規分布に従う乱数$x$。

LaTeX command:

• $\sim$, \sim